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數(shù)據(jù)庫在 PHP 中的重要性
PHP 領(lǐng)域中缺少了一個(gè)功能強(qiáng)大的工具：基于語言的數(shù)學(xué)庫。在這個(gè)由兩部分組成的系列文章中，Paul Meagher 希望通過提供一個(gè)如何開發(fā)分析模型庫的示例來啟發(fā) PHP 開發(fā)人員去開發(fā)和實(shí)現(xiàn)基于 PHP 的數(shù)學(xué)庫。在第 1 部分中，他演示了如何使用 PHP 作為實(shí)現(xiàn)語言來開發(fā)和實(shí)現(xiàn)簡單線性回歸（Simple Linear Regression）算法包的核心部分。在第 2 部分中，作者在該包中添加了一些功能：針對(duì)中小規(guī)模數(shù)據(jù)集的有用的數(shù)據(jù)分析工具。
簡介
與其它開放源碼語言（比如 Perl 和 Python）相比，PHP 社區(qū)缺少強(qiáng)有力的工作來開發(fā)數(shù)學(xué)庫。
造成這種狀況的一個(gè)原因可能是由于已經(jīng)存在大量成熟的數(shù)學(xué)工具，這可能阻礙了社區(qū)自行開發(fā) PHP 工具的工作。例如，我曾研究過一個(gè)功能強(qiáng)大的工具 S System，它擁有一組令人印象深刻的統(tǒng)計(jì)庫，專門被設(shè)計(jì)成用來分析數(shù)據(jù)集，并且在 1998 年由于其語言設(shè)計(jì)而獲得了 ACM 獎(jiǎng)。如果 S 或者其開放源碼同類 R 僅僅是一個(gè) exec_shell 調(diào)用，那么為何還要麻煩用 PHP 實(shí)現(xiàn)相同的統(tǒng)計(jì)計(jì)算功能呢？有關(guān) S System、它的 ACM 獎(jiǎng)或 R 的更多信息，請(qǐng)參閱參考資料。
難道這不是在浪費(fèi)開發(fā)人員的精力嗎？如果開發(fā) PHP 數(shù)學(xué)庫的動(dòng)機(jī)是出自節(jié)省開發(fā)人員的精力以及使用最好的工具來完成工作，那么 PHP 現(xiàn)在的課題是很有意義的。
另一方面，出于教學(xué)動(dòng)機(jī)可能會(huì)鼓勵(lì)對(duì) PHP 數(shù)學(xué)庫的開發(fā)。對(duì)于大約 10% 的人來說，數(shù)學(xué)是個(gè)值得探索的有趣課題。對(duì)于那些同時(shí)還熟練應(yīng)用 PHP 的人來說，PHP 數(shù)學(xué)庫的開發(fā)可以增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，換句話說，不要只閱讀有關(guān) T 測(cè)試的章節(jié)，還要實(shí)現(xiàn)一個(gè)能計(jì)算相應(yīng)的中間值并用標(biāo)準(zhǔn)格式顯示它們的類。
通過指導(dǎo)和訓(xùn)練，我希望證明開發(fā) PHP 數(shù)學(xué)庫并不是一項(xiàng)很難的任務(wù)，它可能代表一項(xiàng)有趣的技術(shù)和學(xué)習(xí)難題。在本文中，我將提供一個(gè) PHP 數(shù)學(xué)庫示例，名為 SimpleLinearRegression，它演示了一個(gè)可以用來開發(fā) PHP 數(shù)學(xué)庫的通用方法。讓我們從討論一些通用的原則開始，這些原則指導(dǎo)我開發(fā)這個(gè) SimpleLinearRegression 類。
指導(dǎo)原則
我使用了六個(gè)通用原則來指導(dǎo) SimpleLinearRegression 類的開發(fā)。
1.每個(gè)分析模型建立一個(gè)類。
2.使用逆向鏈接來開發(fā)類。
3.預(yù)計(jì)有大量的 getter。
4.存儲(chǔ)中間結(jié)果。
5.為詳細(xì)的 API 制定首選項(xiàng)。
6.盡善盡美并非目標(biāo)。
7.讓我們更詳細(xì)地逐條研究這些指導(dǎo)方針。
每個(gè)分析模型建立一個(gè)類
每種主要的分析測(cè)試或過程應(yīng)當(dāng)有一個(gè)名稱與測(cè)試或過程名相同的 PHP 類，這個(gè)類包含了輸入函數(shù)、計(jì)算中間值和匯總值的函數(shù)和輸出函數(shù)（將中間值和匯總值用文本或圖形格式全部顯示在屏幕上）。
使用逆向鏈接來開發(fā)類
在數(shù)學(xué)編程中，編碼的目標(biāo)通常是分析過程（比如 MultipleRegression、TimeSeries 或 ChiSquared）所希望生成的標(biāo)準(zhǔn)輸出值。從解決問題的角度出發(fā)，這意味著您可以使用逆向鏈接來開發(fā)數(shù)學(xué)類的方法。
例如，匯總輸出屏幕顯示了一個(gè)或多個(gè)匯總統(tǒng)計(jì)結(jié)果。這些匯總統(tǒng)計(jì)結(jié)果依賴于中間統(tǒng)計(jì)結(jié)果的計(jì)算，這些中間統(tǒng)計(jì)結(jié)果又可能會(huì)涉及到更深一層的中間統(tǒng)計(jì)結(jié)果，以此類推。這個(gè)基于逆向鏈接的開發(fā)方法導(dǎo)出了下一個(gè)原則。
預(yù)計(jì)有大量的 getter
數(shù)學(xué)類的大部分類開發(fā)工作都涉及到計(jì)算中間值和匯總值。實(shí)際上，這意味著，如果您的類包含許多計(jì)算中間值和匯總值的 getter 方法，您不應(yīng)當(dāng)感到驚訝。
存儲(chǔ)中間結(jié)果
將中間計(jì)算結(jié)果存儲(chǔ)在結(jié)果對(duì)象內(nèi)，這樣您就可以將中間結(jié)果用作后續(xù)計(jì)算的輸入。在 S 語言設(shè)計(jì)中實(shí)施了這一原則。在當(dāng)前環(huán)境下，通過選擇實(shí)例變量來表示計(jì)算得到的中間值和匯總結(jié)果，從而實(shí)施了該原則。
為詳細(xì)的 API 制定首選項(xiàng)
當(dāng)為 SimpleLinearRegression 類中的成員函數(shù)和實(shí)例變量制定命名方案時(shí)，我發(fā)現(xiàn)：如果我使用較長的名稱（類似于 getSumSquaredError 這樣的名稱，而不是 getYY2）來描述成員函數(shù)和實(shí)例變量，那么就更容易了解函數(shù)的操作內(nèi)容和變量所代表的意義。
我沒有完全放棄簡寫名稱；但是，當(dāng)我用簡寫形式的名稱時(shí)，我得設(shè)法提供注釋以完整闡述該名稱的含義。我的看法是：高度簡寫的命名方案在數(shù)學(xué)編程中很常見，但它們使得理解和證明某個(gè)數(shù)學(xué)例程是否按部就班更為困難，而原本不必造成此種困難。
盡善盡美并非目標(biāo)
這個(gè)編碼練習(xí)的目標(biāo)不是一定要為 PHP 開發(fā)高度優(yōu)化和嚴(yán)格的數(shù)學(xué)引擎。在早期階段，應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)意義重大的分析測(cè)試，以及解決這方面的難題。
實(shí)例變量
當(dāng)對(duì)統(tǒng)計(jì)測(cè)試或過程進(jìn)行建模時(shí)，您需要指出聲明哪些實(shí)例變量。
實(shí)例變量的選擇可以通過說明由分析過程生成的中間值和匯總值來確定。每個(gè)中間值和匯總值都可以有一個(gè)相應(yīng)的實(shí)例變量，將變量的值作為對(duì)象屬性。
我采用這樣的分析來確定為清單 1 中的 SimpleLinearRegression 類聲明哪些變量�？梢詫�(duì) MultipleRegression、ANOVA 或 TimeSeries 過程執(zhí)行類似的分析。
清單 1. SimpleLinearRegression 類的實(shí)例變量
<?php
// Copyright 2003, Paul Meagher
// Distributed under GPL
class SimpleLinearRegression {
var $n;
var $X = array();
var $Y = array();
var $ConfInt;
var $Alpha;
var $XMean;
var $YMean;
var $SumXX;
var $SumXY;
var $SumYY;
var $Slope;
var $YInt;
var $PredictedY = array();
var $Error = array();
var $SquaredError = array();
var $TotalError;
var $SumError;
var $SumSquaredError;
var $ErrorVariance;
var $StdErr;
var $SlopeStdErr;
var $SlopeVal; // T value of Slope
var $YIntStdErr;
var $YIntTVal; // T value for Y Intercept
var $R;
var $RSquared;
var $DF; // Degrees of Freedom
var $SlopeProb; // Probability of Slope Estimate
var $YIntProb; // Probability of Y Intercept Estimate
var $AlphaTVal; // T Value for given alpha setting
var $ConfIntOfSlope;
var $RPath = "/usr/local/bin/R"; // Your path here
var $format = "%01.2f"; // Used for formatting output
}
?>
構(gòu)造函數(shù)
SimpleLinearRegression 類的構(gòu)造函數(shù)方法接受一個(gè) X 和一個(gè) Y 向量，每個(gè)向量都有相同數(shù)量的值。您還可以為您預(yù)計(jì)的 Y 值設(shè)置一個(gè)缺省為 95% 的置信區(qū)間（confidence interval）。
構(gòu)造函數(shù)方法從驗(yàn)證數(shù)據(jù)形式是否適合于處理開始。一旦輸入向量通過了“大小相等”和“值大于 1”測(cè)試，就執(zhí)行算法的核心部分。
執(zhí)行這項(xiàng)任務(wù)涉及到通過一系列 getter 方法計(jì)算統(tǒng)計(jì)過程的中間值和匯總值。將每個(gè)方法調(diào)用的返回值賦給該類的一個(gè)實(shí)例變量。用這種方法存儲(chǔ)計(jì)算結(jié)果確保了前后鏈接的計(jì)算中的調(diào)用例程可以使用中間值和匯總值。還可以通過調(diào)用該類的輸出方法來顯示這些結(jié)果，如清單 2 所描述的那樣。
清單 2. 調(diào)用類輸出方法
<?php
// Copyright 2003, Paul Meagher
// Distributed under GPL
function SimpleLinearRegression($X, $Y, $ConfidenceInterval="95") {
$numX = count($X);
$numY = count($Y);
if ($numX != $numY) {
die("Error: Size of X and Y vectors must be the same.");
}
if ($numX <= 1) {
die("Error: Size of input array must be at least 2.");
}
$this->n = $numX;
$this->X = $X;
$this->Y = $Y;
$this->ConfInt = $ConfidenceInterval;
$this->Alpha = (1 + ($this->ConfInt / 100) ) / 2;
$this->XMean = $this->getMean($this->X);
$this->YMean = $this->getMean($this->Y);
$this->SumXX = $this->getSumXX();
$this->SumYY = $this->getSumYY();
$this->SumXY = $this->getSumXY();
$this->Slope = $this->getSlope();
$this->YInt = $this->getYInt();
$this->PredictedY = $this->getPredictedY();
$this->Error = $this->getError();
$this->SquaredError = $this->getSquaredError();
$this->SumError = $this->getSumError();
$this->TotalError = $this->getTotalError();
$this->SumSquaredError = $this->getSumSquaredError();
$this->ErrorVariance = $this->getErrorVariance();
$this->StdErr = $this->getStdErr();
$this->SlopeStdErr = $this->getSlopeStdErr();
$this->YIntStdErr = $this->getYIntStdErr();
$this->SlopeTVal = $this->getSlopeTVal();
$this->YIntTVal = $this->getYIntTVal();
$this->R = $this->getR();
$this->RSquared = $this->getRSquared();
$this->DF = $this->getDF();
$this->SlopeProb = $this->getStudentProb($this->SlopeTVal, $this->DF);
$this->YIntProb = $this->getStudentProb($this->YIntTVal, $this->DF);
$this->AlphaTVal = $this->getInverseStudentProb($this->Alpha, $this->DF);
$this->ConfIntOfSlope = $this->getConfIntOfSlope();
return true;
}
?>
方法名及其序列是通過結(jié)合逆向鏈接和參考大學(xué)本科學(xué)生使用的統(tǒng)計(jì)學(xué)教科書推導(dǎo)得出的，該教科書一步一步地說明了如何計(jì)算中間值。我需要計(jì)算的中間值的名稱帶有“get”前綴，從而推導(dǎo)出方法名。
使模型與數(shù)據(jù)相吻合
SimpleLinearRegression 過程用于產(chǎn)生與數(shù)據(jù)相吻合的直線，其中直線具有以下標(biāo)準(zhǔn)方程：
y = b + mx
該方程的 PHP 格式看起來類似于清單 3：
清單 3. 使模型與數(shù)據(jù)相吻合的 PHP 方程
$PredictedY[$i] = $YIntercept + $Slope * $X[$i]
SimpleLinearRegression 類使用最小二乘法準(zhǔn)則推導(dǎo)出 Y 軸截距（Y Intercept）和斜率（Slope）參數(shù)的估計(jì)值。這些估計(jì)的參數(shù)用來構(gòu)造線性方程（請(qǐng)參閱清單 3），該方程對(duì) X 和 Y 值之間的關(guān)系進(jìn)行建模。
使用推導(dǎo)出的線性方程，您就可以得到每個(gè) X 值對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè) Y 值。如果線性方程與數(shù)據(jù)非常吻合，那么 Y 的觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值趨近于一致。
如何確定是否非常吻合
SimpleLinearRegression 類生成了相當(dāng)多的匯總值。一個(gè)重要的匯總值是 T 統(tǒng)計(jì)值，它可以用來衡量一個(gè)線性方程與數(shù)據(jù)的吻合程度。如果非常吻合，那么 T 統(tǒng)計(jì)值往往很大。如果 T 統(tǒng)計(jì)值很小，那么應(yīng)當(dāng)用一個(gè)模型替換該線性方程，該模型假設(shè) Y 值的均值是最佳預(yù)測(cè)值（也就是說，一組值的均值通常是下一個(gè)觀測(cè)值有用的預(yù)測(cè)值，使之成為缺省模型）。
要測(cè)試 T 統(tǒng)計(jì)值是否大得足以不把 Y 值的均值作為最佳預(yù)測(cè)值，您需要計(jì)算獲取 T 統(tǒng)計(jì)值的隨機(jī)概率。如果獲取 T 統(tǒng)計(jì)值的概率很低，那么您可以否定均值是最佳預(yù)測(cè)值這個(gè)無效假設(shè)，與此相對(duì)應(yīng)，也就確信簡單線性模型與數(shù)據(jù)非常吻合。
那么，如何計(jì)算 T 統(tǒng)計(jì)值的概率呢？
計(jì)算 T 統(tǒng)計(jì)值概率
由于 PHP 缺少計(jì)算 T 統(tǒng)計(jì)值概率的數(shù)學(xué)例程，因此我決定將此任務(wù)交給統(tǒng)計(jì)計(jì)算包 R（請(qǐng)參閱參考資料中的 www.r-project.org）來獲得必要的值。我還想提醒大家注意該包，因?yàn)椋?br>
1. R 提供了許多想法，PHP 開發(fā)人員可能會(huì)在 PHP 數(shù)學(xué)庫中模擬這些想法。
2. 有了 R，可以確定從 PHP 數(shù)學(xué)庫獲得的值與那些從成熟的免費(fèi)可用的開放源碼統(tǒng)計(jì)包中獲得的值是否一致。
清單 4 中的代碼演示了交給 R 來處理以獲取一個(gè)值是多么容易。
清單 4. 交給 R 統(tǒng)計(jì)計(jì)算包來處理以獲取一個(gè)值
<?php
// Copyright 2003, Paul Meagher
// Distributed under GPL
class SimpleLinearRegression {
var $RPath = "/usr/local/bin/R"; // Your path here
function getStudentProb($T, $df) {
$Probability = 0.0;
$cmd = "echo 'dt($T, $df)' | $this->RPath --slave";
$result = shell_exec($cmd);
list($LineNumber, $Probability) = explode(" ", trim($result));
return $Probability;
}
function getInverseStudentProb($alpha, $df) {
$InverseProbability = 0.0;
$cmd = "echo 'qt($alpha, $df)' | $this->RPath --slave";
$result = shell_exec($cmd);
list($LineNumber, $InverseProbability) = explode(" ", trim($result));
return $InverseProbability;
}
}
?>
請(qǐng)注意，這里已經(jīng)設(shè)置了到 R 可執(zhí)行文件的路徑，并在兩個(gè)函數(shù)中使用了該路徑。第一個(gè)函數(shù)根據(jù)學(xué)生的 T 分布返回了與 T 統(tǒng)計(jì)值相關(guān)的概率值，而第二個(gè)反函數(shù)計(jì)算了與給定的 alpha 設(shè)置相對(duì)應(yīng)的 T 統(tǒng)計(jì)值。getStudentProb 方法用來評(píng)估線性模型的吻合程度；getInverseStudentProb 方法返回一個(gè)中間值，它用來計(jì)算每個(gè)預(yù)測(cè)的 Y 值的置信區(qū)間。
由于篇幅有限，我不可能逐個(gè)詳細(xì)說明這個(gè)類中的所有函數(shù)，因此如果您想搞清楚簡單線性回歸分析中所涉及的術(shù)語和步驟，我鼓勵(lì)您參考大學(xué)本科學(xué)生使用的統(tǒng)計(jì)學(xué)教科書。
燃耗研究
要演示如何使用該類，我可以使用來自公共事業(yè)中燃耗（burnout）研究中的數(shù)據(jù)。Michael Leiter 和 Kimberly Ann Meechan 研究了稱為消耗指數(shù)（Exhaustion Index)的燃耗度量單位和稱之為集中度（Concentration）的獨(dú)立變量之間的關(guān)系。集中度是指人們的社交接觸中來自其工作環(huán)境的那部分比例。
要研究他們樣本中個(gè)人的消耗指數(shù)值與集中度值之間的關(guān)系，請(qǐng)將這些值裝入適當(dāng)命名的數(shù)組中，并用這些數(shù)組值對(duì)該類進(jìn)行實(shí)例化。對(duì)類進(jìn)行實(shí)例化后，顯示該類所生成的某些匯總值以評(píng)估線性模型與數(shù)據(jù)的吻合程度。
清單 5 顯示了裝入數(shù)據(jù)和顯示匯總值的腳本：
清單 5. 用于裝入數(shù)據(jù)并顯示匯總值的腳本
<?php
// BurnoutStudy.php
// Copyright 2003, Paul Meagher
// Distributed under GPL
include "SimpleLinearRegression.php";
// Load data from burnout study
$Concentration = array(20,60,38,88,79,87,
68,12,35,70,80,92,
77,86,83,79,75,81,
75,77,77,77,17,85,96);
$ExhaustionIndex = array(100,525,300,980,310,900,
410,296,120,501,920,810,
506,493,892,527,600,855,
709,791,718,684,141,400,970);
$slr = new SimpleLinearRegression($Concentration, $ExhaustionIndex);
$YInt = sprintf($slr->format, $slr->YInt);
$Slope = sprintf($slr->format, $slr->Slope);
$SlopeTVal = sprintf($slr->format, $slr->SlopeTVal);
$SlopeProb = sprintf("%01.6f", $slr->SlopeProb);
?>
<table border='1' cellpadding='5'>
<tr>
<th align='right'>Equation:</th>
<td></td>
</tr>
<tr>
<th align='right'>T:</th>
<td></td>
</tr>
<tr>
<th align='right'>Prob > T:</th>
<td><td>
</tr>
通過 Web 瀏覽器運(yùn)行該腳本，產(chǎn)生以下輸出：
Equation: Exhaustion = -29.50 + (8.87 * Concentration)
T: 6.03
Prob > T: 0.000005
這張表的最后一行指出獲取這樣大 T 值的隨機(jī)概率非常低�？梢缘贸鲞@樣的結(jié)論：與僅僅使用消耗值的均值相比，簡單線性模型的預(yù)測(cè)能力更好。
知道了某個(gè)人的工作場(chǎng)所聯(lián)系的集中度，就可以用來預(yù)測(cè)他們可能正在消耗的燃耗程度。這個(gè)方程告訴我們：集中度值每增加 1 個(gè)單位，社會(huì)服務(wù)領(lǐng)域中一個(gè)人的消耗值就會(huì)增加 8 個(gè)單位。這進(jìn)一步證明了：要減少潛在的燃耗，社會(huì)服務(wù)領(lǐng)域中的個(gè)人應(yīng)當(dāng)考慮在其工作場(chǎng)所之外結(jié)交朋友。
這只是粗略地描述了這些結(jié)果可能表示的含義。為全面研究這個(gè)數(shù)據(jù)集的含義，您可能想更詳細(xì)地研究這個(gè)數(shù)據(jù)以確信這是正確的解釋。在下一篇文章中我將討論應(yīng)當(dāng)執(zhí)行其它哪些分析。
您學(xué)到了什么？
其一，要開發(fā)意義重大的基于 PHP 的數(shù)學(xué)包，您不必是一名火箭科學(xué)家。堅(jiān)持標(biāo)準(zhǔn)的面向?qū)ο蠹夹g(shù)，以及明確地采用逆向鏈接問題解決方法，就可以相對(duì)方便地使用 PHP 實(shí)現(xiàn)某些較為基本的統(tǒng)計(jì)過程。
從教學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，我認(rèn)為：如果只是因?yàn)橐竽谳^高和較低的抽象層次思考統(tǒng)計(jì)測(cè)試或例程，那么這個(gè)練習(xí)是非常有用的。換句話說，補(bǔ)充您的統(tǒng)計(jì)測(cè)試或過程學(xué)習(xí)的一個(gè)好辦法就是將這個(gè)過程作為算法實(shí)現(xiàn)。
要實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)測(cè)試通常需要超出所給定的信息范圍并創(chuàng)造性地解決和發(fā)現(xiàn)問題。對(duì)于發(fā)現(xiàn)對(duì)某個(gè)學(xué)科認(rèn)識(shí)的不足而言，它也是一個(gè)好辦法。
不利的一面，您發(fā)現(xiàn) PHP 對(duì)于取樣分布缺乏內(nèi)在手段，而這是實(shí)現(xiàn)大多數(shù)統(tǒng)計(jì)測(cè)試所必需的。您需要交給 R 來處理以獲取這些值，但是我擔(dān)心您會(huì)沒時(shí)間或沒興趣安裝 R。某些常見概率函數(shù)的本機(jī) PHP 實(shí)現(xiàn)可以解決這個(gè)問題。
另一個(gè)問題是：該類生成許多中間值和匯總值，但是匯總輸出實(shí)際上沒有利用這一點(diǎn)。我提供了一些難處理的輸出，但是這既不夠充分也沒進(jìn)行很好的組織，以致您無法充分地解釋分析結(jié)果。實(shí)際上，我完全不知道如何可以將輸出方法集成到該類中。這需要得到解決。
最后，要弄明白數(shù)據(jù)，不僅僅是察看匯總值就可以了。您還需要明白各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)是如何分布的。最好的辦法之一是將您的數(shù)據(jù)繪制成圖表。再次聲明，我對(duì)這方面不太了解，但是如果要用這個(gè)類來分析實(shí)際數(shù)據(jù)的話就需要解決這個(gè)問題。
在本系列文章的下一篇文章中，我將使用本機(jī) PHP 代碼實(shí)現(xiàn)一些概率函數(shù)，用幾個(gè)輸出方法擴(kuò)展 SimpleLinearRegression 類，并生成一個(gè)報(bào)告：用表和圖形格式表示中間值和匯總值，這樣更容易從數(shù)據(jù)中得出結(jié)論。且待下回分解！
參考資料
1.請(qǐng)參考由 James T. McClave 和 Terry Sincich 編著的廣受歡迎的大學(xué)教科書 Statistics，第 9 版（Prentice-Hall，在線），本文中所使用的算法步驟和“燃耗研究”示例參考了該書。
2.請(qǐng)查閱 PEAR 資源庫，它目前包含了少量低級(jí)別的 PHP 數(shù)學(xué)類。最終，應(yīng)該會(huì)很高興地看到 PEAR 包含實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)的較高級(jí)別的數(shù)值方法（比如 SimpleLinearRegression、MultipleRegression、TimeSeries、ANOVA、FactorAnalysis、FourierAnalysis 及其它）的包。
3.查看作者的 SimpleLinearRegression 類的所有源代碼。
4.了解一下Numerical Python 項(xiàng)目，它用非常科學(xué)的數(shù)組語言以及成熟的建立下標(biāo)方法擴(kuò)展了 Python。有了該擴(kuò)展，數(shù)學(xué)操作就非常接近人們期望從編譯語言所獲得的功能。
5.研究可用于 Perl 的許多數(shù)學(xué)參考資料，包括 CPAN 數(shù)學(xué)模塊的索引和 CPAN 中算法部分的模塊，以及 Perl 數(shù)據(jù)語言（Perl Data Language），它旨在為 Perl 提供壓縮存儲(chǔ)以及快速操作大型 N 維數(shù)據(jù)數(shù)組的能力。
6.有關(guān) John Chambers 的 S 編程語言的更多信息，請(qǐng)查閱關(guān)于他的出版物以及他在貝爾實(shí)驗(yàn)室的各項(xiàng)研究項(xiàng)目的鏈接。還可以了解在 1998 年因語言設(shè)計(jì)而獲得的 ACM 獎(jiǎng)。
7.R 是用于統(tǒng)計(jì)計(jì)算和圖形的語言和環(huán)境，類似于獲獎(jiǎng)的 S System，R 提供了諸如線性和非線性建模、統(tǒng)計(jì)測(cè)試、時(shí)間序列分析、分類、群集之類的統(tǒng)計(jì)和圖形技術(shù)。請(qǐng)?jiān)?R Project 主頁上了解 R。
8.如果您剛接觸 PHP，那么請(qǐng)閱讀 Amol Hatwar 的 developerWorks 系列文章：“用 PHP 開發(fā)健壯的代碼:”“第 1 部分: 高屋建瓴的介紹 ”（2002 年 8 月）、“第 2 部分: 有效地使用變量”（2002 年 9 月）和“第 3 部分: 編寫可重用函數(shù)”（2002 年 11 月）。
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